Mathematisch ausgedrückt, ist eine Hashfunktion eine Funktion, die gewisse Eingangsdaten beliebiger Länge durch Verschlüsselung auf eine Zeichenfolge mit fester Länge abbildet.
Man kann sich ein Hash aber auch als eine Art Fingerabdruck vorstellen. Wie der Fingerabdruck zu einer bestimmten Person gehört, gehört der Hash zu einem ganz bestimmten Datensatz. Ein Hash beweist das Vorhandensein eines Dokuments zu einem bestimmten Zeitpunkt. Da in einer Blockchain nur wenig Speicherplatz zur Verfügung steht, begnügt man sich meistens mit einem kostengünstigen Hash. Man kann sogar sagen, dass eine Blockchain praktisch nur aus Hashes besteht.
Beispiel einer Hashfunktion ist der SHA-256 Algorithmus (Secure Hash Algorithm). Der resultierende Hash kann hier ausprobiert werden. Unten derjenige für "ich heisse Reto".

Für SHA-256 werden 512 Bits gebraucht. Dazu wird dem Computer zuerst angegeben aus wie vielen Bits die zu verschlüsselnde Nachricht besteht. Mein Vorname "Reto" wird im binären System durch 32 Bits abgebildet, jeder Buchstabe entspricht 8 Bits oder 1 Byte (siehe oberste Zeile unten). Die Zahl 32 sieht im binären System folgendermassen aus:

32 = 100000 = 1x32 + 0x16 + 0x8 + 0x4 + 0x2 + 0x1
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Diese Zahl steht am Ende des Codes (siehe unten). Die nicht gebrauchten Stellen zwischen binärem Text und dessen Längenangabe werden mit Nullen aufgefüllt, um schliesslich auf die 512 Bits zu gelangen (siehe unten). Die 1 zu Beginn der zweiten Zeile gibt an, dass ab dort nicht mehr die ASCII Tabelle verwendet wird, sonst würde 1OOOOO = 20 statt 32 interpretiert.  

Dies ist der Input für die SHA-256 Hashfunktion. Der Output besteht dann aus 256 Bits. Der Hash in der obigen Grafik sieht optisch kürzer aus, was aber auf die hexadezimale Schreibweise zurückzuführen ist. 

Anwendung 1: Passwörter

Meistgebrauchte Anwendung von Hashes ist die Passworteingabe. Die Speicherung von Passwörtern auf der Datenbank einer Internetseite ist keine gute Idee. Oft wird deshalb nicht das Passwort selber, sondern nur dessen Hash gespeichert. 

​Beispiel: Falls ich das Passwort "blockchain-nachrichten" benutzen würde, ergibt der Hash: 

Nun gilt es dem Blockinhalt Zahlen (Nonce) anzufügen, die einen Hash mit einer Null zu Beginn generieren. Wenn die Zahl 1 an den Text angehängt wird, resultiert per Zufall bereits ein Hash mit einer 0 am Anfang. 

Nun wird jeweils um 1 erhöht, bis ein Hash mit 2 Nullen gefunden wird. Dies geschieht erst nach 394 Versuchen beim Anhängen der Zahl 395. 

Der hexadezimale Wert beginnt mit weniger Nullen, da dies ja einem kompakteren Format entspricht. Es ist kein Zufall, dass im hexadezimalen System lauter F stehen, da im binären System nach den Nullen die grösstmögliche Zahl steht (224x1) und F im hexadezimalen System auch für den höchsten Wert steht. 

0 und 1 entsprechen Kopf und Zahl bei einer Münze. Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Münzwurf 32x Kopf (=0) zu werfen, beträgt: 

O,5^32 =   O,OOOOOOOOO2325581 oder 1:43OOOOOOOO. 

Im Durchschnitt wurde zu Beginn von Bitcoin folglich nach 4,3 Mrd. Versuchen in der Lotterie gewonnen. Schauen wir mal, wie viele Nullen heute erforderlich sind. Dazu gehen wir auf blockchain.info:

Da der Hash im hexadezimalen Format drin steht, muss er im Konverter ins binäre umgewandelt werden:

Nun können die Nullen abgezählt werden. Da sich heute viele Computer an der Sicherung beteiligen und die Leistung der Prozessoren seit 2009 gestiegen ist, werden im Schnitt bereits 73 Nullen gefordert, damit immer noch nur all 10 Minuten ein Bitcoin Block entsteht.
 
O,5^73 =    O,OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO4235165 oder 1:944473296573929OOOOOOO
 
Im Durchschnitt wird heute nach 9,4 Trilliarden Versuchen in der Lotterie gewonnen. ​
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Da Zahlen wie eine Trilliarde schwierig zu erfassen sind, wird der sogenannte Schwierigkeitsgrad (englisch Difficulty) definiert:

Difficulty = benötigte Versuche heute / benötigte Versuche bei Start von Bitcoin 2009

9,4 Trilliarden / 4,3 Milliarden = 219 644 952 691

Binäre Zeichen sind zwar für Computer geeignet, jedoch für den Menschen nicht wirklich leserlich. Deshalb wurde die hexadezimale Notation eingeführt. Mit 4 Bits können 16 Zeichen dargestellt werden: 

Damit kann das ABC nur bis zum Buchstaben F abgebildet werden. Daher wurde auf 8 Bits (=1 Byte) umgestellt. Da Geschichte pfadabhängig ist und die neue Version mit der alten hexadezimalen Notation kompatibel sein musste, wurden die 8 Bits als 2x4 Bits dargestellt. Damit können maximal 256 Zeichen dargestellt werden: 

Mein Vorname, bestehend aus 32 Bits, wird zu:

Da in der Informatik meistens mit zwei Zuständen (ein/aus) gearbeitet wird, basiert die Mathematik auf Potenzen von 2 statt 10. Folgende Zahlensysteme werden bei Bitcoin gebraucht.

Beispiel: Zahl 64 (hinterste Stelle = 1. Stelle)

Dezimal (dezi = 10)

1.    Stelle = 10^0 = 1        4x1 = 4
2.    Stelle = 10^1 = 10        6x10 = 60

Binär (bi = 2)

1.    Stelle = 2^0 = 1
2.    Stelle = 2^1 = 2
3.    Stelle = 2^2 = 4
4.    Stelle = 2^3 = 8
5.    Stelle = 2^4 = 16
6.    Stelle = 2^5 = 32
7.    Stelle = 2^6 = 64

Zahl 64 =1000000

Hexadezimal:

1.    Stelle = 16^0 = 1
2.    Stelle = 16^1 = 16
3.    Stelle = 16^2 = 256

Zahl 64 = 40

Basis 64 (Base64):
 
1.    Stelle = 64^0 = 1
2.    Stelle = 64^1 = 64

Zahl 64 = 10

Basis 58 (Base58):

Dabei werden gewisse Zeichen von Base 64 aus Gründen der Verwechslung vermieden (so 0, O, I, l). 

Base58Check:

Hier wird Base58 noch eine Prüfsumme angehängt. Ziel davon ist, Tippfehler zu erkennen. Base58Check ist schliesslich das Format der Bitcoin Adressen.